VB - Sistema de equação linear com duas incógnitas

E 'oia' eu aqui 'tra veiz' continuando nossa série de artigos sobre VB e a matemática , vou mostrar agora como resolver uma equação linear com duas incógnitas. Vou começar com os conceitos matemáticos envolvidos e a seguir mostrar o código VB que resolve o problema. Eta VB bom de matemática soh !!!

Os conceitos Matemáticos

1 - Sistema linear

É um conjunto de m equações lineares de n incógnitas (x_1, x₂, x₃, ... , x_n) do tipo:
a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ... + a_1nx_n = b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ + ... + a_2nx_n = b₂
a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ + ... + a_3nx_n = b₃
.................................................................
.................................................................
a_m1x₁ + a_m2x₂ + a_m3x₃ + ... + a_mnx_n = b_n

Exemplo:
3x + 2y - 5z = -8
4x - 3y + 2z = 4
7x + 2y - 3z = 2
0x + 0y + z = 3

Temos acima um sistema de 4 equações e 3 incógnitas (ou variáveis).

Os termos a_11, a₁₂, ... , a_1n, ... , a_m1, a_m2, ..., a_mn são denominados coeficientes e b_1, b₂, ... , b_n são os
termos independentes. A ênupla (a ₁, a ₂ , a ₃ , ... , a _n) será solução do sistema linear se e somente se satisfizer simultaneamente a todas as m equações.

Exemplo: O terno ordenado (2, 3, 1) é solução do sistema:
x + y + 2z = 7
3x + 2y - z = 11
x + 2z = 4
3x - y - z = 2
pois todas as equações são satisfeitas para x=2, y=3 e z=1.

Notas:
1 - Dois sistemas lineares são EQUIVALENTES quando possuem as mesmas soluções.
Exemplo: Os sistemas lineares

são equivalentes, pois ambos admitem o par ordenado (3, 2) como solução. Verifique!

2 - Se um sistema de equações possuir pelo menos uma solução, dizemos que ele é POSSÍVEL ou COMPATÍVEL.

3 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui apenas uma solução, dizemos que ele é DETERMINADO.

4 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui mais de uma solução, dizemos que ele é INDETERMINADO.

5 - Se os termos independentes de todas as equações de um sistema linear forem todos nulos, ou seja
b₁ = b₂ = b₃ = ... = b_n = 0, dizemos que temos um sistema linear HOMOGÊNEO.

Exemplo:
x + y + 2z = 0
2x - 3y + 5z = 0
5x - 2y + z = 0

Vejamos agora os métodos para a resolução de sistema de equações:

Método da adição:

 » basta eliminar uma das variáveis, através de termos opostos, recaindo numa equação do 1º grau com uma variável.

Ex: x+y=12   
     x-y=4

Notamos que as duas equações possuem termos opostos (y e -y). Com isso, basta somar as duas equações:
A seguir, basta substituir o valor encontrado para x em uma das equações.
        8+y=12                ou             8-y=4
           y=12-8                               -y=4-8
           y=4                                      y=4
O par ordenado (x,y)=(8,4) é a solução do sistema.

Método da substituição:

Consiste em eliminarmos uma das variáveis isolando seu valor numa das equações do sistema, para em seguida substitui-la na outra.

Ex: x+y=12 ... I
      x-y=4 .... II

Escolhemos uma das variáveis na primeira equação, para determinarmos o seu valor:    x+y=12  »  x=12-y

Substituímos na outra equação:

    (12-y) - y = 4
          12-2y = 4 
             -2y = -8
                y=4
Substituindo o valor encontrado em uma das equações:    x+4=12   »  x=12-4  »  x=8

Logo a solução do sistema seria:      S = {(8,4)}

Método da comparação:

Consiste em comparmos as duas equações do sistema, após termos isolado a mesma variável (x ou y) nas duas equações:

      x+2y=2     »   x=2-2y
      x+y = 3     »   x=3-y

Comparando as duas equações:
                2-2y=3-y
               -2y+y=3-2
                   -y = 1
                    y = -1

Substituindo o valor de y encontrado:   x = 2-2.(-1)  »  x=2+2=4

Portando S= {(4,-1)}

Método de Kramer

No nosso exemplo , dada a equação :

Foi utilizado o método de Kramer e nele as soluções serão dadas por:  

A interface com o usuário

Inicie um novo projeto no VB e no formulário padrão insira os controles conforme layout abaixo:

- temos aqui : - 6 caixas de texto - dois botões de comando - três frames

Como você acabou de observar a interface é simples: O usuário deverá informar o valor dos coeficientes da equação nas caixas de texto e clicar no botão - Resolver - para obter o resultado da equação.

O código

Vamos começar com o código do botão - Resolver : Aplica a regra de Kramer para resolver o sistema.

Private Sub CmdResolver_Click()

On Error GoTo Err_CmdResolver_Click

Dim i%

For i = 0 To 1
AjustaValor txta(i)
AjustaValor txtb(i)
AjustaValor txtc(i)
Next

Dim valx#
Dim valy#
Dim tmp%
Dim mul0#
Dim mul1#

mul0 = Val(txtb(1))
mul1 = Val(txtb(0))
mul0 = IIf(mul0 < 0 Eqv mul1 < 0, -mul0, mul0)

valx =(Val(txtc(0)) * mul0 + Val(txtc(1)) * mul1) / (Val(txta(0)) * mul0 + Val(txta(1))*mul1)
valy =(Val(txtc(0)) - Val(txta(0)) * valx) / Val(txtb(0))

lblx = "x = " & valx
lbly = "y = " & valy
lblfraz = "A solução para o sistema é => (" & valx & " ; " & valy & ")"

Exit Sub

Err_CmdResolver_Click:
 lblx = ""
 lbly = ""
 lblfraz = "Erro n° " & Err & " - " & Err.Description
 Select Case Err
   Case 6
     lblfraz = lblfraz & " : ocorreu um estouro da pilha do sistema."
   Case 11
    lblfraz = lblfraz & " : não há solução para o sistema."
 End Select
End Sub

Abaixo o código associado a evento KeyPress de cada caixa de texto , onde só permitimos a entrada valores numéricos:

Private Sub txta_KeyPress(Index As Integer, KeyAscii As Integer)
 If KeyAscii = 8 Then
   txta(Index).Text = Left(txta(Index).Text, Len(txta(Index).Text) - 1)
   SendKeys "{END}"
 End If
   'so permite valores numericos
 If KeyAscii < 45 Or KeyAscii > 57 Then KeyAscii = 0
End Sub

Private Sub txtb_KeyPress(Index As Integer, KeyAscii As Integer)
 If KeyAscii = 8 Then
   txtb(Index).Text = Left(txtb(Index).Text, Len(txtb(Index)) - 1)
   SendKeys "{END}"
 End If
   'so permite valores numericos
 If KeyAscii < 45 Or KeyAscii > 57 Then KeyAscii = 0
End Sub

Private Sub txtc_KeyPress(Index As Integer, KeyAscii As Integer)
 If KeyAscii = 8 Then
    txtc(Index).Text = Left(txtc(Index).Text, Len(txtc(Index)) - 1)
    SendKeys "{END}"
  End If
  'so permite valores numericos
  If KeyAscii < 45 Or KeyAscii > 57 Then KeyAscii = 0
End Sub

O código associado ao botão - Novo Cálculo - que limpa todos os controles do formulário:

Private Sub limpa_controles()
 Dim i As Integer
 'limpa as caixas de texto
 For i = 0 To Me.Controls.Count - 1
   If TypeOf Me.Controls(i) Is TextBox Then
     Me.Controls(i).Text = ""
   End If
 Next
 lblfraz = ""
 lblx = ""
 lbly = ""
End Sub

Para encerra o código que simula a pressionamento da tecla TAB quando o usuário tecla ENTER. Para que o código funcione você deve definir a propriedade KeyPreview do formulário como True:

Private Sub Form_KeyPress(KeyAscii As Integer)
  'Esse código permite a mudança de quadro de texto através do Enter
  If KeyAscii = 13 Then
  'Se o tipo do controle ativo for TextBox
  If TypeOf Screen.ActiveControl Is TextBox Then
    'Simula o pressionamento da tecla TAB
    SendKeys "{tab}"
    'A linha a seguir evita ouvir um bip
    KeyAscii = 0
  End If
End If
End Sub

Agora vou mostrar um exemplo , exibindo a tela obtida na resolução de um sistema:

Acabei , mas você pode dar uma melhorada no projeto . Que tal ???

Com esta série de artigos ou você fica bom de matemática e de VB ou nunca mais volta no meu site .

Até o próximo artigo sobre VB e a matemática...!!! (o projeto completo esta no super CD VB - Ele foi baseado em um projeto que achei na Web.)

José Carlos Macoratti