Sabemos que o número não pertence ao conjunto dos números reais, pois não existe nenhum número que elevado ao quadrado resulte em -1.

Para que a equação acima tenha solução, temos que estender o conjunto dos números reais para obter um novo conjunto, chamado de conjunto dos números complexos e representado por .

O número  foi denominado unidade imaginária e criou-se o número i, de modo que:  i² = -1 logo  i =

(fonte: https://www.somatematica.com.br/emedio/complexos/complexos.php acessando em janeiro/2019)

Podemos tratar números complexos usando o namespace System.Numerics usando o novo tipo Struct chamado Complex que lida com números complexos que epresenta números complexos e permite realizar operações aritméticas com números complexos. Para isso basta referenciar a library no projeto.

O tipo Complex usa o sistema de coordenadas cartesianas (real, imaginário) ao criar uma instância e manipular números complexos. Um número complexo pode ser representado como um ponto em um sistema de coordenadas bidimensional, que é conhecido como plano complexo. A parte real do número complexo é posicionada no eixo x (o eixo horizontal), e a parte imaginária é posicionada no eixo y (o eixo vertical).

Criando uma instância de um número complexo

Você pode atribuir um valor em um número complexo em uma das seguintes maneiras:

• Passando dois valores Double para seu construtor. O primeiro valor representa a parte real do número complexo e o segundo valor representa sua parte imaginária. Esses valores representam a posição do número complexo no sistema de coordenadas cartesianas bidimensional.
• Chamando o método estático Complex.FromPolarCoordinates para criar um número complexo de suas coordenadas polares.
• Atribuindo um valor Byte, SByte, Int16, UInt16, Int32, UInt32, Int64, UInt64, Single, ou Double para um objeto Complex. O valor se tornará a parte real do número complexo e sua parte imaginária é igual a 0.
• Convertendo um valor Decimal ou BigInteger para um objeto Complex. O valor se tornará a parte real do número complexo e sua parte imaginária será igual a 0.
• Atribuindo o número complexo que é retornado por um método ou operador para um objeto Complex. Por exemplo, Complex.Add é um método estático que retorna um número complexo que é a soma dos dois números complexos, e o operador Complex.Addition adiciona dois números complexos e retorna o resultado.

Operações com números complexos

A Struct Complex no .NET Framework inclui membros que fornecem a seguinte funcionalidade:

• Métodos para comparar dois números complexos para determinar se eles são iguais.
• Operadores para executar operações aritméticas em números complexos. Operadores Complex permitem executar adição, subtração, multiplicação, divisão e negação unária com números complexos.
• Métodos para executar outras operações numéricas em números complexos. As quatro operações aritméticas básicas, além de gerar um número complexo a uma potência especificada, localizar a raiz quadrada de um número complexo e obter o valor absoluto de um número complexo.
• Métodos para executar operações trigonométricas em números complexos. Por exemplo, você pode calcular a tangente de um ângulo representado por um número complexo.

(fonte: https://docs.microsoft.com/pt-br/dotnet/api/system.numerics.complex?view=netframework-4.7.2)

Podemos obter cada componente de um número complexo usando as propriedades associadas a ele :

• Real: Representa a parte real do número;
• Imaginary: representa a parte imaginária do número;
• Magintude: Obtém o valor absoluto do número do complexo;
• Phase: Obtém a fase do número complexo;

As propriedades Real e Imaginary são somente leitura e portanto você não pode modificar um valor existente do objeto Complex.

A seguir vou mostrar um forma bem simples de implementar isso.

Recursos Usados

• Visual Studio 2015 Community

Criando o projeto Windows Forms

Abra o VS 2017 Community e crie um novo projeto (File-> New Project) usando a linguagem C# e o template Windows Forms App (.NET Framework).

Informe um nome a seu gosto. Eu vou usar o nome CSharp_NumerosComplexos;

Clique no menu Project -> Add Reference e inclua uma referência ao namespace System.Numerics:

Agora inclua no formulário Form1 os seguintes controles a partir da ToolBox:

• GroupBox - grpNumerosComplexos e grpOperacoes
• Labels
• TextBox
• Buttons

Disponha os controles conforme o leiaute da figura abaixo:

Defina os namespaces usados no formulário conforme abaixo:

using System;
using System.Numerics;
using System.Windows.Forms;

Defina as seguintes variáveis que serão usadas nos cálculos do formulário:

private Complex z1;
private Complex z2;
private Complex resultado;
private double z1_r;
private double z1_i;
private double z2_r;
private double z2_i;

Crie um método chamado Validar() que verifica se os números complexos foram informados corretamente:

Crie o método MontaNumerosComplexos que define os números complexos com base na informação do usuário :

        private void MontaNumerosComplexos()
        {
            z1_r = Convert.ToDouble(Z1_Real.Text);
            z1_i = Convert.ToDouble(Z1_Imaginario.Text);
            z2_r = Convert.ToDouble(Z2_Real.Text);
            z2_i = Convert.ToDouble(Z2_Imaginario.Text);
            z1 = new Complex(z1_r, z1_i);
            z2 = new Complex(z2_r, z2_i);
        }

A seguir temos o código dos eventos Click de cada botão que realiza as operações para somar, subtrair, multiplicar, dividir , raiz quadrada e cálculo do conjugado:

      private void btnAdicao_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            if (Validar())
            {
                MontaNumerosComplexos();
                resultado = Complex.Add(z1, z2);
                var final = $"{resultado.Real} + {resultado.Imaginary}i";
                txtResultadoAdicao.Text = final;
            }
        }

        private void btnSubtracao_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            if (Validar())
            {
                MontaNumerosComplexos();
                resultado = Complex.Subtract(z1, z2);
                var final = $"{resultado.Real} + {resultado.Imaginary}i";
                txtResultadoSubtracao.Text = final;
            }
        }

        private void btnMultiplicacao_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            if (Validar())
            {
                MontaNumerosComplexos();
                resultado = Complex.Multiply(z1 , z2);
                var final = $"{resultado.Real} + {resultado.Imaginary}i";
                txtResultadoMultiplicacao.Text = final;
            }
        }

        private void btnDivisao_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            if (Validar())
            {
                MontaNumerosComplexos();
                resultado = Complex.Divide(z1,z2);
                var final = $"{resultado.Real} + {resultado.Imaginary}i";
                txtResultadoDivisao.Text = final;
            }
        }

        private void btnCalcularRaizQuadradaZ1_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            if (Validar())
            {
                MontaNumerosComplexos();
                resultado = Complex.Sqrt(z1);
                var final = $"{resultado.Real} + {resultado.Imaginary}i";
                txtRaizQuadradaZ1.Text = final;
            }
        }

        private void btnCalcularConjugados_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            if (Validar())
            {
                MontaNumerosComplexos();
                Complex conjugado1 = Complex.Conjugate(z1);
                Complex conjugado2 = Complex.Conjugate(z2);
                txtConjugadoZ1.Text = conjugado1.ToString();
                txtConjugadoZ2.Text = conjugado2.ToString();
            }
        }

Neste código estamos usando os métodos da classe Complex para realizar as operações :

• Somar - Complex.Add(z1,z2)
• Subtrair - Complex.Subtract(z1,z2)
• Mulitplicar - Complex.Multiply(z1,z2)
• Dividir - Complex.Divide(z1,z2)
• Raiz Quadrada - Complex.Sqrt(z1,z2)
• Conjugado de Z - Complex.Conjugate(z)

Para exibir o resultado no formato retangular (a+bi) estamos usando as propriedades Real e Imaginary da struct Complex e montando o número complexo na expressão :  var final = $"{resultado.Real} + {resultado.Imaginary}i";

Finalmente o código dos eventos Click dos botões Sair e Limpar

       private void btnSair_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            string message = "Deseja Encerrar o programa ?";
            string title = "Encerrar";
            MessageBoxButtons buttons = MessageBoxButtons.YesNo;
            DialogResult result = MessageBox.Show(message, title, buttons);
            if (result == DialogResult.Yes)
            {
                this.Close();
            }
        }

        private void btnLimpar_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            LimpaPainel(this.grpNumerosComplexos);
            LimpaPainel(this.grpOperacoes);
        }

        public void LimpaPainel(GroupBox control)
        {
            foreach (Control ctr in control.Controls)
            {
                if (ctr is TextBox)
                {
                    ctr.Text = "";
                }
            }                
        }

Executando o projeto iremos obter:

Poderíamos implementar outros cálculos e se você desejar fazer isso veja as referências para os métodos da classe Complex.

Nota:  Voce pode verificar o resultado on-line usando este link: https://www.symbolab.com/solver/complex-numbers-calculator

Se você desejar pode também usar as bibliotecas de terceiros. Vou apontar uma que é grátis :

1. http://www.codeproject.com/KB/dotnet/complex_math.aspx

Basta acessar o link, baixar a DLL e consultar a documentação.

Pegue o projeto completo aqui :  CSharp_NumerosComplexos.zip